Олимпиады по физике

1. Введение
2. Часть первая
3. Часть вторая
4. Часть третья (не очень серьезная)

  Введение

Эти заметки, посвященные олимпиадам и олимпиадным задачам, состоят из трех частей. В первой части разобраны некоторые типы олимпиадных задач в порядке возрастания сложности. Часть вторая предназначена для школьников, которые участвуют в олимпиадах. В ней дана литература, по которой можно готовиться к выступлению на олимпиадах. И, наконец, третья часть - это "полезные советы", которые помогут правильно относиться к олимпиадам.

  Часть первая

Вот что принято думать об олимпиадной задаче: это сложная задача, которую очень трудно решить и в которой запрятана "изюминка", известная одним только составителям. Это традиционное заблуждение. На восемь десятых олимпиадные задачи - типовые школьные, требующие простого понимания написанного в задачниках.

Оставшиеся 20% задач действительно содержат изюминку, и недостаток их лишь в том, что изюминки с похожим вкусом встречаются на олимпиадах очень часто. Поэтому необходимо выработать программу подготовки, содержащую ознакомление с известными методами решения олимпиадных задач. Тогда правильный способ решения начнет бросаться в глаза сразу после прочтения условия. Вот типичные примеры таких "квазиизюминок":

Пример первый. Все знают, что если построить график зависимости скорости тела от времени, то площадь под графиком будет численно равна пройденному телом пути.

Существует достаточно большое число задач, в которых по существу также требуется найти площадь под графиком, хотя, на первый взгляд, это не столь очевидно.

Задача 1.1. Жук ползет по прямой, и его скорость все время меняется. Вам дан необычный график - зависимость величины, обратной скорости жука, т.е. 1/V, от координаты жука x.

Задача 1.2. Определите количество теплоты, переданной телу при нагреве на DT, если теплоемкость тела зависит от температуры по закону C(T) = C₀(a+bT).

Решение. Как вы уже догадались, снова необходимо найти площадь под графиком зависимости C(T).

Действительно, теплота, переданная телу, вычисляется по формуле Q = CDT (для постоянной теплоемкости). Для теплоемкости, линейно зависящей от температуры, мы видим из графика, что

Этот же результат легко получить и интегрированием.

Пример второй. При абсолютно упругом соударении тел с гладкими поверхностями сила взаимодействия между ними направлена перпендикулярно касательной плоскости к поверхностям в точке взаимодействия.

Задача 2.1. На гладком горизонтальном столе покоится шар массой m. С ним упруго сталкивается клин массой M = m/2, движущийся углом вперед со скоростью V = 5 м/с.

Определить, через какое время шар опять столкнется с клином. Угол клина a = 30^°. Клин не подпрыгивает. Считать, что потерь энергии на тепло нет. (XXVIII всероссийская олимпиада по физике, 1994 г.)

Решение. Клин не подпрыгивает, столкновение упругое и потерь на тепло нет, следовательно поверхность клина гладкая. В таком случае действующая на шар сила направлена под углом 90^°-a к горизонту, а направление изменения импульса шара DP сонаправлено с направлением действия силы. Так как шар вначале покоился, то он приобретает скорость, также направленную под углом 90^°-a к горизонту. Пользуясь законом сохранения энергии и законом сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

(где V₁ и v - скорости клина и шара после соударения), получаем, что при M = m/2 и a = 30^° горизонтальная проекция скорости шара равна скорости клина, т.е. относительно клина шар движется только по вертикали. Следовательно, второй удар произойдет после того, как шар опустится вниз (пришли к стандартной задаче о движении тела, брошенного вертикально вверх). И, если решение проделано правильно, получаем ответ:

Пример третий. Задачу на нахождение периода собственных колебаний системы можно легко решить, продифференцировав по времени закон сохранения энергии для этой системы.

Задача 3.1. Попробуем решить задачу о нахождении периода колебаний математического маятника приведенным выше способом.

Рассмотрим малое отклонение тела от положения равновесия. Закон сохранения энергии выглядит следующим образом:

где lda/dt - это скорость тела. Продифференцировав это выражение по времени, получим:

Сокращая на da/dt, деля на ml² и учитывая, что при малых углах выполняется соотношение sina » a, получаем

Сравнив это выражение с уравнением для свободных колебаний

мы видим, что w² = g/l, T = 2p(l/g)^1/2.

В данном случае ответ был, пожалуй, получен более сложным способом, чем в учебнике физике, но сейчас мы рассмотрим другую задачу, для которой представленный способ является наиболее простым.

Задача 3.2. На цилиндр радиуса R положена доска длиной 2L, на каждом из концов которой закреплен груз массой m.

Найти период малых колебаний этой системы.

Решение. Рассмотрим малое отклонение системы от положения равновесия.

В тот момент, когда доска составляет угол j с горизонтом, потенциальная энергия системы равна

Учитывая, что при малых углах sinj » j, cosj » 1- j²/2, получаем

Кинетическая энергия - это энергия вращения двух тел массой m каждое, относительно точек, отстоящих на L-Rj и L+Rj от центра вращения. Следовательно,

Слагаемым R²j² можно пренебречь, так как оно мало по сравнению с L², поэтому

Из закона сохранения энергии W_к+W_пот = const с учетом того, что w = dj/dt, имеем

Продифференцировав последнее равенство по времени, получим

откуда

Сравнив это равенство с выражением d²j/dt²+w₀² = 0, получим период свободных колебаний системы

Пример четвертый. Не забывайте, что многих трудностей в решении задачи можно избежать, правильно выбрав систему отсчета.

Задача 4.1. На два одинаковых неподвижных кубика, связанных пружиной, налетает со скоростью v такой же кубик.

Найдите минимальное расстояние между кубиками, связанными пружинами. Трения между кубиками и плоскостью нет. Столкновение кубиков упругое. Массы кубиков - m, жесткость пружины - k, длина нерастянутой пружины - L₀.

Решение. После столкновения первый кубик остановится, а второй кубик приобретет скорость v. Перейдем в систему отсчета, связанную с центром масс соединенных кубиков. Такая система отсчета двигается со v/2 вправо относительно Земли (это можно получить, записав закон сохранения импульса для удара кубика о систему тел, состоящую из двух кубиков). В ней оба кубика двигаются навстречу друг другу со скоростями v/2, и в момент, когда пружина сожмется до минимальной длины L, оба кубика, очевидно, остановятся.

Запишем закон сохранения энергии

откуда сразу следует

Задача 4.2. Заброшенный в кольцо баскетбольный мяч начинает отвесно падать из корзины без начальной скорости. В тот же момент из точки, находящейся на расстоянии L от кольца, в падающий мяч бросают теннисный мяч.

С какой начальной скоростью был брошен теннисный мяч, если мячи столкнулись на расстоянии h от кольца?

Решение. Перейдем в систему отсчета, связанную с баскетбольным мячом, то есть свободно падающую с ускорением g. В этой системе отсчета теннисный мяч движется равномерно и прямолинейно со скоростью v₀. Очевидно, что эта скорость должна быть направлена на баскетбольный мяч. Через время t = L/v₀ мячи столкнутся. В лабораторной системе отсчета за это время мяч опустится на расстояние

откуда получаем

Пример пятый. Если есть бесконечная цепочка, составленная из одинаковых элементов, то часть такой цепочки подобна всей цепочке.

Задача 5.1. Для начала рассмотрим известную задачу о расчете сопротивления бесконечной цепочки (см. рисунок), составленной из одинаковых резисторов сопротивлением R. (Первая международная олимпиада, 1967)

Решение. Очевидно, что если мы уберем из цепи два первых резистора, то сопротивление цепи останется тем же. Поэтому схему можно перерисовать, обозначив через R_x сопротивление всей цепи.

Из последней схемы видно, что

из которого получаем уравнение

Отсюда

Так как отрицательный корень не имеет смысла, то получаем R_x @ 1,62R.

Задача 5.2. Найти сопротивление цепи, состоящей из 40 резисторов (указана на рисунке). Сопротивление резисторов каждого последующего звена в 10 раз больше, чем предыдущего. (3-я Соросовская олимпиада школьников)

Решение. Существует решение, основанное на том, что вклад каждого последующего звена в общее сопротивление цепи очень быстро убывает. Оставив только одно звено (два первых резистора), мы получим сопротивление цепи R₁ = 2R. Добавив второе звено, мы получим сопротивление цепи

Добавив третье звено, получим R₃ » 1,951R. Видимо, и общее сопротивление цепи будет равно 1,951R.

Однако, можно предложить и другое решение. Поскольку вклад звеньев очень быстро уменьшается, то можно дополнить цепочку до бесконечной и вычислить ее сопротивление. Сопротивление цепочки без первого звена в 10 раз больше, чем сопротивление всей цепочки, потому что сопротивление каждого резистора в "отрезанной" цепочке больше чем в исходной в 10 раз. Поэтому остается вычислить сопротивление простой схемы:

что совпадает с полученным раньше ответом.

Задача 5.3. На рисунке приведена схема, составленная из очень большого числа звеньев.

Каждое звено состоит из двух последовательно соединенных конденсаторов одинаковой емкости, емкости конденсаторов в звеньях различны - в первом звене C и C, а в каждом последующем звене емкость в два раза меньше, чем в предыдущем. К точкам A и B подключают идеальную батарейку напряжением V. Найти заряды конденсаторов первого звена. (2-я Соросовская олимпиада школьников).

Решение. Обозначим заряд конденсатора C, подключенного к точке A, буквой Q, а заряд второго конденсатора C - буквой q. Если между точками A и B подключена батарейка V, то можно записать первое уравнение Q/C + q/C = V. Параллельно "нижнему" конденсатору C подключена длинная цепь, очень похожая на всю цепочку конденсаторов, разница лишь в том, что эта цепь состоит из конденсаторов, емкости которых ровно в два раза меньше, чем у конденсаторов исходной цепи - ясно, что заряд "верхнего" конденсатора C/2 можно выразить через заряд Q: если бы к этой цепи без первого звена подключили напряжение V, этот заряд составил бы Q/2 - в нашем случае это напряжение выражается через q: V₁ = q/C. Итак, заряд этого конденсатора Q₁ = 0,5 Q V₁/V = 0,5 Q q/(C V). Еще одно уравнение следует из закона сохранения заряда

Решая получившуюся простую систему уравнений, получим

Задача 5.4. Цепь (см. рисунок) состоит из 1000 одинаковых звеньев - каждое звено включает катушку L = 1 мГн и конденсатор C = 0,1 мкФ.

К последнему звену подключен резистор сопротивлением R = 100 Ом (числа подобраны специально!). Батарейку напряжением U₀ = 10 В подключают к первому звену, через некоторое время ток через резистор начинает возрастать, потом он принимает установившееся значение. Через какую из катушек быстрее всего меняется ток, если с момента подключения батарейки прошло время t = 0,001 с? Оцените скорость нарастания тока через резистор в тот момент, когда ток через него станет равным половине установившегося значения. (2-я Соросовская олимпиада школьников)

Решение. Можно оценить нужные величины следующим образом. В момент подключения батареи по этой цепи начинает "бежать" волна. Для оценки будем считать, что при прохождении волны через очередную ячейку ее конденсатор зарядится до U₀, ток через катушку установится I₀ (сейчас мы его найдем). В волне должны быть равны энергии CU₀²/2 = LI₀²/2, отсюда получим для тока
I₀ = U₀(C/L)^0,5 = 0,1 A = U₀/R.

Видно, что сопротивление на конце цепи и в самом деле подобрано - оно "заменяет" бесконечную цепь из конденсаторов и катушек с заданными в условии задачи параметрами. Оценим грубо запаздывание t в расчете на одно звено: ток I₀ за это время заряжает конденсатор от нуля до U₀, и поэтому tў = U₀C/I₀ = (LC)^0,5 = 1·10^-5 с. Быстрее всего меняется ток через катушку из того звена, до которого добежала к тому времени волна - в нашем случае это ячейка номер t/tў = 1 · 10^-3/1·10^-5 = 100. Скорость нарастания тока через резистор в тот момент, когда величина этого тока составит половину установившегося значения, может быть оценена так: ток через последнюю катушку равен I₀, ток через резистор - I₀/2, ток, заряжающий конденсатор, - I = I₀-0,5I₀ = 0,5I₀. Тогда скорость нарастания определяется ростом напряжения на конденсаторе DU/Dt = 0,5I₀/C = 0,5U₀/(RC) = 5·10⁵ В/с.

Оценку времени запаздывания можно провести более аккуратно, если рассмотреть в качестве источника не батарейку, а источник гармонического напряжения очень низкой частоты. Для гармонического напряжения выбранной частоты w можно найти сдвиг фаз между напряжениями соседних ячеек - у нас получится величина j ~ w, это и будет означать наличие некоторого запаздывания t = j/w. Найти эти величины можно с помощью введения полных (комплексных) напряжений и токов, но проще это сделать, используя векторные диаграммы напряжений и токов в соседних ячейках.

Первая диаграмма построена для разветвления токов "катушка-конденсатор-катушка" - амплитуды токов катушек одинаковы, ведь элементы цепи идеальные (можно заменить резистор на бесконечное число звеньев, состоящих из катушки и конденсатора).

Вторая диаграмма соответствует напряжениям катушки и двух конденсаторов. Ясно, что сдвиги фаз на диаграммах одинаковы. Обозначив фазовый сдвиг j, имеем 0,5I_C = I_Lsinj/2 » I_L·j/2 (для низких частот токи конденсаторов малы и угол сдвига фаз можно считать малым). Аналогично для напряжений 0,5U_L = U_Csinj/2 » U_C ·j/2. Отсюда сразу получаем

У нас получилась одна и та же величина для всех достаточно низких частот приложенного гармонического напряжения. Теперь получим соотношения между амплитудами токов и напряжений в такой бесконечной цепи

Напряжения на всех конденсаторов одинаковы, поэтому получается, что сопротивление такой цепи чисто активное и составляет (L/C)^1/2 = 100 Ом. Ясно, что резистор с таким сопротивлением "заменяет" цепь из бесконечного числа звеньев, подключенную к концу нашей цепи из 1000 звеньев.

  Часть вторая

Особых способов научиться решать олимпиадные задачи, вероятно, не существует. Единственное, что может помочь, это постоянное "прорешивание" всего, что попадается под руку. Желательно, чтобы под руку попались такие задачники, как: "Сборник задач по физике" под редакцией С.М.Козела (или "Сборник задач по физике", авторы С.М.Козел, Э.И.Рашба, С.А.Славатинский), а также "Задачи по физике" под редакцией О.Я.Савченко ("Новосибирский задачник"). Просматривайте сборники олимпиадных задач (в том числе сборники задач Соросовских олимпиад). Несколько хороших сборников выпустила "Библиотечка "Квант"". Наилучшим же, по моему мнению, является "Задачник Кванта" в журнале "Квант" - там публикуются избранные задачи разного уровня со многих олимпиад. Так что решайте - и вперед, на олимпиаду!

  Часть третья (не очень серьезная)

Вот несколько полезных советов, которые, может быть, помогут вам во время олимпиады:

1. Если вы уже изучили все темы, которые будут на олимпиаде, то лучше занять вечер перед олимпиадой чем-нибудь "бесполезным": вязанием, катанием на скейтборде или игрой в тетрис. Чем менее интеллектуальным будет занятие, тем лучше вы отдохнете перед выступлением.

2. Если вы не ходили два месяца на уроки физики, то вечер можно посвятить учебнику, но в любом случае нужно лечь спать не менее чем за девять часов до начала олимпиады.

3. Помиритесь перед олимпиадой со всеми знакомыми, чтобы тяжелые мысли не отвлекали вас от решения задач.

4. На самой олимпиаде больше внимания уделяйте оформлению работы. Хорошо, если на него уходит больше половины отведенного времени. Одна полностью написанная задача приносит больше баллов, чем две, написанные наполовину.

5. Пишите решение полностью и красивым почерком. У проверяющих существует презумпция виновности: человек, у которого не найдено последовательное решение, хотя бы на черновике, считается неудачно списавшим. Кроме того, если непонятно ни слова из того, что написано плохим почерком, а ответ не совпадает с приведенным жюри, скидывается большая часть баллов, даже если произошла всего лишь арифметическая ошибка.

6. Последовательность решения задач - дело вкуса, хотя считается, что нужно начинать с более легких задач.

7. Избегайте численных решений - их неудобно анализировать, проверять и апеллировать по ним. Аналитическое решение является хорошим стилем решения.

8. После того, как вы решили задачу и написали ответ, снова прочитайте условие и подумайте: то ли вы нашли, что требовалось?

9. Ну, и, конечно, не забудьте проанализировать полученный ответ на размерность и предельные случаи.

10. Не забывайте, что олимпиада - не только задачи, но и общение с новыми людьми.

Удачи!